Theses

Ph.D. thesis : Algorithmen zur Bestimmung von Symmetrien

Figuren, die für den menschlichen Betrachter ähnlich erscheinen, haben oft die gleiche Symmetriegruppe. Daher könnten Algorithmen zur Bestimmung von Symmetrien verwendet werden, um aus einer Menge von Figuren diejenigen auszusuchen, die einer gebenen Figur ähnlich sind.

Eine Figur $\mathcal{F}$ heißt symmetrisch, wenn es eine Transformation $\alpha$ gibt, die die beiden folgenden Eigenschaften hat:

Sie erhält Abstände: $d(P,Q) = d(\alpha(P),\alpha(Q))$ , f. a. $P,Q \in \mathcal{F}$ , wobei eine Abstandsfunktion ist.
Sie bildet die Figur auf sich selber ab: $\alpha(\mathcal{F})=\mathcal{F}$

Die drei folgenden Transformationen erfüllen die oben genannten Eigenschaften und werden daher für die Charakterisierung verschiedener Symmetriegruppen verwendet:

Spiegelungen
Rotationen
Translationen

Eine Figur, die rotations- oder spiegelsymmetrisch ist, ist endlich. Im Gegensatz dazu muss eine Figur, die translationssymmetrisch ist immer unendlich sein.

Eine Figur, die nur rotationssymmetrisch ist, hat die Symmetriegruppe , mit $n=\frac{2\pi}{\theta}$ und $\theta$ ist der Rotationswinkel. Ist eine Figur sowohl rotations- als auch spiegelsymmetrisch, wird die Symmetriegruppe mit bezeichnet.

**Abbildung 1:** Symmetriegruppe (links) bzw. (rechts)
$\scalebox{0.4}{{\includegraphics{Claudia.eps}}}$

Bei den unendlichen Figuren unterscheidet man zwischen zwei Klassen von unendlichen Figuren:

Einerseits werden die Figuren betrachtet, die nur Translationen in eine Richtung, andererseits solche, die Translationen in zwei Richtungen beinhalten.

Die Symmetriegruppen der ersten Klasse von unendlichen Figuren sind die Friesgruppen (frieze groups). Es gibt sieben verschiedene Friesgruppen, je nachdem, welche weiteren Symmetrien das Grundmuster der Friesgruppe aufweist.

Die Tapetenmustergruppen (wallpaper groups) bezeichnen die Symmetriegruppen der zweiten Klasse von unendlichen Figuren. Es gibt siebzehn verschiedene Tapetenmustergruppen.

Wird der Rand einer rotationssymmetrischen Figur mit Symmetriegruppe in gleichmäßigen Winkelabständen um den Schwerpunkt der Figur abgetastet, so ergibt sich eine Funktion mit Periode . Diese Funktion kann mit Hilfe der diskreten Fouriertransformation analysiert werden, und auf Grund dieser Ergebnisse können Rückschlüsse auf die Symmetriegruppe der Figur gezogen werden.

Es stellt sich nun die Frage, in wie weit dieser Ansatz auch auf Figuren ausgeweitet werden kann, die eine der Fries- bzw. Tapetenmustergruppen als Symmetriegruppe haben.